Пространство-время бесконечно. Свет может лететь вечно. Чёрная дыра сжимает точку до нуля. Как нарисовать всё это на конечном листе?
Ответ Роджера Пенроуза, разработанный в начале 1960-х: конформное сжатие. Математическое преобразование, которое стягивает бесконечность в конечные точки и линии, сохраняя при этом единственное, что важно для физики причинности — структуру световых конусов.
Этот единственный инструмент оказался настолько мощным, что теперь он присутствует практически в каждом крупном результате общей теории относительности — от теорем о сингулярностях до голографического принципа, от классификации пространств-времён до доказательства того, что гравитационные волны несут энергию.
Проблема
К началу 1960-х общая теория относительности переживала кризис — не потому что теория была ошибочной, а потому что никто не мог доказать её правоту в тех вопросах, которые по-настоящему имели значение.
Карл Шварцшильд нашёл решение для чёрной дыры в 1916 году, через несколько месяцев после публикации уравнений Эйнштейна. Но решение предполагало идеальную сферическую симметрию — условие, которое никогда не выполняется в природе. Большинство физиков, включая самого Эйнштейна, считали, что любое реальное отклонение от симметрии предотвратит формирование сингулярности. Вопрос о том, существуют ли чёрные дыры в реальности или являются лишь артефактом идеализированной математики, оставался открытым почти 50 лет.
Проблема заключалась в том, что существующие инструменты не справлялись с глобальной структурой пространства-времени. Метрику можно было записать в любой точке, но чтобы понять, что происходит «на бесконечности» — куда приходят гравитационные волны, где заканчиваются лучи света, какова судьба коллапсирующей материи — нужно было видеть всё пространство-время сразу.
Идея
Метод сложился из трёх ключевых моментов. В короткой заметке 1963 года в Physical Review Letters Пенроуз представил конформное сжатие как инструмент для изучения асимптотической структуры. На Летней школе в Ле-Уш в том же году он прочитал три лекции с подробным описанием — включая то, как конформная граница меняется в зависимости от знака космологической постоянной. Затем в 1965 году он опубликовал теорему о сингулярностях, которую Нобелевский комитет впоследствии назовёт «самым важным вкладом в общую теорию относительности со времён Эйнштейна».
Ключ к теореме пришёл к Пенроузу во время прогулки с коллегой Айвором Робинсоном в Лондоне осенью 1964 года. Как он вспоминал, они дошли до перекрёстка, замолчали, чтобы посмотреть на дорогу, и в этот момент в его сознании вспыхнула идея «захваченной поверхности». Эта единственная идея — в сочетании с конформными методами — доказала, что сингулярности неизбежны в общей теории относительности.
Как это работает
Ключевая идея элегантна: если вас интересует только причинность — какие события могут влиять на какие — то сохранять расстояния не нужно. Нужно сохранить только структуру световых конусов.
Конформное преобразование перемасштабирует метрику на множитель Ω²: все расстояния умножаются на Ω, но углы остаются неизменными. Лучи света по-прежнему идут под 45°. Причинный порядок событий сохранён. Ω выбирается так, чтобы обращаться в ноль на бесконечности, сжимая бесконечно далёкие области в конечную границу.
Результат: бесконечное пространство-время умещается на конечной диаграмме с полностью сохранённой каузальной структурой.
Пять правил для всех диаграмм
С этими пятью правилами можно прочитать любую диаграмму Пенроуза — от плоского пространства до вращающихся чёрных дыр.
Четыре фундаментальных пространства-времени
Минковский — Ромб
Плоское пространство без гравитации. Диаграмма — ромб с пятью компонентами границы: будущая и прошлая времениподобные бесконечности (i⁺, i⁻), пространственная бесконечность (i⁰), а также будущая и прошлая нулевые бесконечности (I⁺, I⁻) — поверхности, на которых заканчиваются и начинаются лучи света. Энергия гравитационных волн определяется именно на I⁺ — понятие, которое становится строгим только через конформную границу Пенроуза. Группа Бонди-Мецнера-Сакса (1962), описывающая асимптотические симметрии на нулевой бесконечности, оказывается бесконечномерной — гораздо больше 10-мерной группы Пуанкаре плоского пространства.
Шварцшильд — Зигзагообразная сингулярность
Невращающаяся чёрная дыра. Диаграмма раскрывает то, что координаты скрывали десятилетиями: сингулярность при r = 0 — это не точка в пространстве, а момент во времени. Она изображается горизонтальной зигзагообразной линией: после пересечения горизонта событий (линия 45°) сингулярность лежит в вашем будущем, в каком бы направлении вы ни двигались. Побег невозможен не потому, что вы недостаточно быстры, а потому, что все пространственные направления ведут к сингулярности.
Максимально продолженное решение — впервые найденное в координатах Крускала-Секереса (1960) — обнаруживает белую дыру, вторую вселенную и мост Эйнштейна-Розена между ними. Мост закрывается быстрее, чем свет мог бы его пересечь.
Де Ситтер — Квадратная Вселенная
Положительная космологическая постоянная, нет материи — приближение будущего нашей Вселенной, когда тёмная энергия доминирует. Диаграмма — квадрат с пространственноподобными (горизонтальными) верхней и нижней границами: вселенная начинается и заканчивается везде одновременно.
Каждый наблюдатель имеет космологический горизонт: области, удаляющиеся быстрее света, никогда не смогут послать вам сигнал. С 1998 года, когда Рисс, Перлмуттер и Шмидт обнаружили ускоренное расширение (Нобелевская премия 2011), мы знаем, что наша Вселенная движется к де-Ситтеровскому будущему.
Анти-де Ситтер — Вертикальная полоса
Отрицательная космологическая постоянная. Диаграмма — вертикальная полоса с времениподобными (вертикальными) границами. Не наша Вселенная — но, возможно, самое важное пространство-время в теоретической физике сегодня.
В 1997 году Хуан Малдасена показал, что квантовая гравитация в этом пространстве точно эквивалентна квантовой теории поля на его границе. Это AdS/CFT-соответствие — самый цитируемый результат в истории физики высоких энергий (20 000+ цитирований) — означает, что вертикальные края диаграммы Пенроуза — не просто абстрактные границы. На них живёт дуальная теория. Гравитация внутри, квантовые поля на краю.
Что стало возможным благодаря диаграммам
Человек за диаграммами
Кип Торн описал подход Пенроуза: «он отбрасывал детальную геометрическую структуру пространства-времени и сосредотачивал внимание на топологии или, максимум, конформной структуре — поскольку именно она, определяемая расположением световых конусов, задаёт каузальные связи». Пенроуз разделил премию Вольфа 1988 года с Хокингом и получил Нобелевскую в 89 лет.
Источники
- R. Penrose, Phys. Rev. Lett. 10, 66 (1963) — конформное сжатие
- R. Penrose, “Conformal Treatment of Infinity,” Les Houches (1964), pp. 563–584
- R. Penrose, Phys. Rev. Lett. 14, 57 (1965) — Нобелевская премия 2020
- S. W. Hawking, R. Penrose, Proc. R. Soc. Lond. A 314, 529 (1970)
- H. Bondi, M. G. J. van der Burg, A. W. K. Metzner, Proc. R. Soc. Lond. A 269, 21 (1962)
- S. W. Hawking, G. F. R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge (1973)
- J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 7, 2333 (1973)
- S. W. Hawking, Commun. Math. Phys. 43, 199 (1975)
- R. M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press (1984)
- J. M. Maldacena, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231 (1998) — arXiv:hep-th/9711200
- J. M. Maldacena, L. Susskind, Fortschr. Phys. 61, 781 (2013) — arXiv:1306.0533
- Nobel Prize in Physics 2020, пресс-релиз